自適應濾波是数字信號處理的核心技術之一，在科學和工業上有着廣泛的應用領域。自適應濾波技術應用廣泛，包括回波抵消、自適應均衡、自適應噪聲抵消和自適應波束形成。回聲對消是當今通信系統中普遍存在的現象。聲回波引起的信號干擾會分散用戶的注意力，降低通信質量。本文重點介紹了LMS和NLMS算法的使用，以減少這種不必要的回聲，從而提高通信質量

關鍵詞:自適應濾波器，自適應算法，回聲消除

1  引言

　　當音頻信號在真實環境中產生混響時，就會產生聲學回聲，從而導致原始信號加上信號^[1]的衰減、延時圖像。本文將重點研究通信系統中聲學回波的產生。

　　自適應濾波器是一種動態濾波器，它不斷地改變其特性以獲得最優的輸出。自適應濾波算法通過改變參數使期望輸出d (n)與實際輸出y (n)之間的差值最小化。該函數稱為自適應算法的代價函數（loss）。圖1显示了自適應回聲抵消系統的框圖。其中，濾波器H(n)表示聲環境的脈衝響應，W(n)表示用來抵消回波信號的自適應濾波器。自適應濾波器的目標是使輸出的y(n)與期望的d(n)(在回聲環境中混響的信號)相等。在每次迭代中，誤差信號e(n)=d (n)-y (n)被反饋回濾波器，濾波器的特性也隨之改變。

自適應回聲消除系統

　　自適應濾波器的目標是計算期望信號與自適應濾波器輸出之間的差值e(n)。該誤差信號反饋到自適應濾波器，並通過算法改變其係數，以最小化該差值的函數，即代價函數。在聲回波消除的情況下，自適應濾波器的最優輸出與不需要的回波信號等值。當自適應濾波器輸出等於期望信號時，誤差信號為零。在這種情況下，回顯信號將被完全取消，遠用戶將不會聽到他們的任何原始語音返回給他們。

2. 最小均方(LMS)算法

　　最小均方(LMS)算法是由Widrow和Hoff在1959年通過對模式識別的研究首次提出的。由此成為自適應濾波中應用最廣泛的算法之一。LMS算法是一種基於隨機梯度的自適應濾波算法，它利用濾波器權重的梯度來收斂到最優的維納解^[2-4]。由於其計算簡單而廣為人知並被廣泛使用。正是這種簡單性使它成為判斷所有其他自適應濾波算法的基準。

　　隨着LMS算法的每次迭代，自適應濾波器的濾波抽頭(tap)權值按照如下公式進行更新。

$$公式1：w(n+1)=w(n)2\mu e(n)x(n)$$

　　這裏x(n)是延時輸入值的輸入向量，$x(n)=[x_1(n)x_2(n)…x_N(n)]^T=[x(n)x(n-1)…x(n-N+1)]^T$。向量$w(n)=[w_0(n)w_1(n)w_2(n)…w_{N-1}(n)]^T$代表自適應FIR濾波器抽頭(tap)權向量在時刻n的係數。參數μ被稱為步長參數和小正的常數。此步長參數控制更新因子的影響。μ必須選擇一個合適的值LMS算法的性能，如果該值太小自適應濾波器的收斂時間會太長；如果μ太大自適應濾波器變得不穩定，導致其輸出發散^{[5 – 8]}。

2.1 LMS算法的實現

LMS算法的每次迭代都需要三個不同的步驟，順序如下:

1. FIR濾波器的輸出y(n)用公式2計算。

$$公式2：y(n)=\sum_{i=0}^{N-1}w(n)x(n-1)=w^T(n)x(n)$$

2. 誤差估計的值按公式3計算。

$$公式3：e(n)=d(n)-y(n)$$

3.更新FIR向量的抽頭tap權值，為下一次迭代做準備，如公式4所示。

$$公式4：w(n+1)=w(n)+2\mu e(n)x(n)$$

　　LMS算法在自適應濾波中得到廣泛應用的主要原因是其計算簡單，比其他常用的自適應算法更易於實現。LMS算法每次迭代需要2N加法和2N + 1次乘法(N用於計算輸出y(N))，另一個用於通過向量乘法計算標量^[9]。

clear;
clc;
snr=20;     % 信噪比
order=8;    % 自適應濾波器的階數為8
Hn =[0.8783 -0.5806 0.6537 -0.3223 0.6577 -0.0582 0.2895 -0.2710 0.1278 ...     % ...表示換行的意思
    -0.1508 0.0238 -0.1814 0.2519 -0.0396 0.0423 -0.0152 0.1664 -0.0245 ...
    0.1463 -0.0770 0.1304 -0.0148 0.0054 -0.0381 0.0374 -0.0329 0.0313 ...
    -0.0253 0.0552 -0.0369 0.0479 -0.0073 0.0305 -0.0138 0.0152 -0.0012 ...
    0.0154 -0.0092 0.0177 -0.0161 0.0070 -0.0042 0.0051 -0.0131 0.0059 ...
    -0.0041 0.0077 -0.0034 0.0074 -0.0014 0.0025 -0.0056 0.0028 -0.0005 ...
    0.0033 -0.0000 0.0022 -0.0032 0.0012 -0.0020 0.0017 -0.0022 0.0004 -0.0011 0 0];
Hn=Hn(1:order);
mu=0.5;             % mu表示步長
N=1000;             % 橫坐標1000個採樣點
Loop=150;           % 150次循環
EE_NLMS=zeros(N,1); % 不同步長的初始化誤差
for nn=1:Loop       % epoch=150
    % 權重初始化w
    win_NLMS=zeros(1,order);         % NLMS四種步長測試，四個權重——1
    error_NLMS=zeros(1,N)';     % 初始化誤差
    % 均勻分佈的輸入值
    r=sign(rand(N,1)-0.5);          % shape=(1000,1)的(0,1)均勻分佈-0.5，sign(n)>0=1;<0=-1
    % 輸出：輸入卷積Hn得到 輸出
    output=conv(r,Hn);              % r卷積Hn,output長度=length(u)+length(v)-1
    output=awgn(output,snr,'measured');     % 將白高斯噪聲添加到信號中

    % N=1000，每個採樣點
    for i=order:N         % i=8：1000
      input=r(i:-1:i-order+1);  % 每次迭代取8個數據進行處理
      e_NLMS = output(i)-win_NLMS*input;
      win_NLMS=win_NLMS+e_NLMS*input'/(input'*input);   % NLMS更新權重
      error_NLMS(i)=error_NLMS(i)+e_NLMS^2;
    end
    
    EE_NLMS=EE_NLMS+error_NLMS;     % 把總誤差相加
end
% 對總誤差求平均值
error_NLMS=EE_NLMS/Loop;

figure;
error_NLMS=10*log10(error_NLMS(order:N));
plot(error_NLMS,'r');       % 紅色
axis tight;                 % 使用緊湊的坐標軸
legend('NLMS算法');           % 圖例
title('NLMS算法誤差曲線');     % 圖標題
xlabel('樣本');                     % x軸標籤
ylabel('誤差/dB');                  % y軸標籤
grid on;                            % 網格線

3 歸一化最小均方(NLMS)算法

　　LMS算法的主要缺點之一是每次迭代都有一個固定的步長參數。這需要在開始自適應濾波操作之前了解輸入信號的統計信息。實際上，這是很難實現的。即使我們假設自適應回聲抵消系統的唯一輸入信號是語音，但仍有許多因素如信號輸入功率和振幅會影響其性能^[10-12]。

　　歸一化最小均方算法(NLMS)是LMS算法的擴展，LMS算法通過計算最大步長值來繞過這個問題。步長值的計算公式如下

$$Step\ size = \frac{1}{dot\ product(input\ vector,\ input\ vector)}$$

這個步長與輸入向量x(n)的係數的瞬時值的總期望能量的倒數成正比。輸入樣本的期望能量之和也等於輸入向量與自身的點積，以及輸入向量自相關矩陣的跡R[13-15]。

$$公式5：tr[R]=\sum_{i=0}^{N-1}E[x^2(n-i)]\\ \quad\quad =E[\sum_{i=0}^{N-1}x^2(n-i)]$$

NLMS算法的遞歸公式如式6所示

$$公式6：w(n+1)=w(n)+\frac{1}{x^T(n)x(n)}e(n)x(n)$$

3.1 NLMS算法的實現

　　NLMS算法已在Matlab中實現。由於步長參數是根據當前的輸入值來選擇的，因此NLMS算法在未知信號下具有更大的穩定性。該算法具有良好的收斂速度和相對簡單的計算能力，是實時自適應回波抵消系統^[16]的理想算法。

　　由於NLMS是標準LMS算法的擴展，因此NLMS算法的實際實現與LMS算法非常相似。NLMS算法的每次迭代都需要按照以下順序執行這些步驟。

1. 計算了自適應濾波器的輸出

$$公式7：y(n)=\sum_{i=0}^{N-1}w(n)x(n-i)=w^T(n)x(n)$$

2. 誤差信號等於期望信號和濾波器輸出之間的差值。

$$公式8：e(n)=d(n)-y(n)$$

3.計算了輸入向量的步長值。

$$公式9：\mu(n)=\frac{1}{x^T(n)x(n)}$$

4. 濾波器抽頭權重更新，為下一次迭代做準備。

$$公式10：w(n+1)=w(n)+\mu(n)e(n)x(n)$$

NLMS算法的每次迭代都需要3N+1次乘法，僅比標準LMS算法多N次。考慮到所獲得的穩定性和回波衰減增益，這是一個可接受的增加。

clear;
clc;
snr=20;     % 信噪比
order=8;    % 自適應濾波器的階數為8
% Hn是濾波器權重
Hn =[0.8783 -0.5806 0.6537 -0.3223 0.6577 -0.0582 0.2895 -0.2710 0.1278 ...     % ...表示換行的意思
    -0.1508 0.0238 -0.1814 0.2519 -0.0396 0.0423 -0.0152 0.1664 -0.0245 ...
    0.1463 -0.0770 0.1304 -0.0148 0.0054 -0.0381 0.0374 -0.0329 0.0313 ...
    -0.0253 0.0552 -0.0369 0.0479 -0.0073 0.0305 -0.0138 0.0152 -0.0012 ...
    0.0154 -0.0092 0.0177 -0.0161 0.0070 -0.0042 0.0051 -0.0131 0.0059 ...
    -0.0041 0.0077 -0.0034 0.0074 -0.0014 0.0025 -0.0056 0.0028 -0.0005 ...
    0.0033 -0.0000 0.0022 -0.0032 0.0012 -0.0020 0.0017 -0.0022 0.0004 -0.0011 0 0];
Hn=Hn(1:order);
mu=0.5;             % mu表示步長
N=1000;             % 橫坐標1000個採樣點
Loop=150;           % 150次循環
% 不同步長的初始化誤差
EE_LMS = zeros(N,1);
EE_NLMS=zeros(N,1);
for nn=1:Loop       % epoch=150
    win_LMS = zeros(1,order);   % 權重初始化w
    error_LMS=zeros(1,N)';      % 初始化誤差
    % 均勻分佈的語音數據輸入
    r=sign(rand(N,1)-0.5);          % shape=(1000,1)的(0,1)均勻分佈-0.5，sign(n)>0=1;<0=-1
    % 輸出：輸入卷積Hn得到 輸出
    output=conv(r,Hn);              % r卷積Hn,output長度=length(u)+length(v)-1
    output=awgn(output,snr,'measured');     % 真實輸出=將白高斯噪聲添加到信號中

    % N=1000，每個採樣點
    for i=order:N         % i=8：1000
      input=r(i:-1:i-order+1);  % 每次迭代取8個數據進行處理
      e_LMS = output(i)-win_LMS*input;
      
      mu=0.02;      % 步長
      win_LMS = win_LMS+2*mu*e_LMS*input';
      error_LMS(i)=error_LMS(i)+e_LMS^2;
    end
    % 把總誤差相加
    EE_LMS = EE_LMS+error_LMS;

end
% 對總誤差求平均值
error_LMS = EE_LMS/Loop;

figure;
error1_LMS=10*log10(error_LMS(order:N));
plot(error1_LMS,'b.');  % 藍色
axis tight;         % 使用緊湊的坐標軸
legend('LMS算法');       % 圖例
title('LMS算法誤差曲線');  % 圖標題
xlabel('樣本');                     % x軸標籤
ylabel('誤差/dB');                  % y軸標籤
grid on;                            % 網格線

4 LMS算法的結果

　　利用Matlab對LMS算法進行了仿真。圖2显示的是通過麥克風從計算機系統收集到的輸入語音信號。圖3显示了從輸入信號派生出的所需回波信號。圖4显示了自適應濾波器的輸出，它將減少輸入信號的回波信號。圖5显示了由濾波器輸出信號計算出的均方誤差信號。圖6是由回波信號對誤差信號的分割得到的衰減。

　　自適應濾波器為1025階FIR濾波器。步長設置為0.02。MSE表明，隨着算法的發展，代價函數的平均值逐漸減小。

5 NLMS算法的結果

　　用Matlab對NLMS算法進行了仿真。圖7显示了輸入信號。圖8显示了所需的信號。圖9显示了自適應濾波器輸出。圖10显示了均方誤差。圖11显示了衰減。

　　自適應濾波器為1025階FIR濾波器。步長設置為0.1。

 NLMS算法在均方誤差和平均衰減方面優於LMS算法，其性能總結如表1所示。

6 結論

　　由於其簡單性，LMS算法是最流行的自適應算法。然而，LMS算法存在收斂速度慢和數據依賴的問題。

　　NLMS算法是LMS算法的一個同樣簡單但更健壯的變體，它在簡單性和性能之間表現出比LMS算法更好的平衡。由於其良好的性能，NLMS在實時應用中得到了廣泛的應用。

7. 參考

文章翻譯自論文《2011_adaptive algorithms for acoustic echo cancellation in speech processing》

[1]. Homana, I.; Topa, M.D.; Kirei, B.S.; “Echo cancelling using adaptive algorithms”, Design and Technology of Electronics Packages, (SIITME) 15th International Symposium., pp. 317-321, Sept.2009.

[2]. Paleologu, C.; Benesty, J.; Grant, S.L.; Osterwise, C.; “Variable step-size NLMS algorithms for echo cancellation” 2009 Conference Record of the forty-third Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers., pp. 633-637, Nov 2009.

[3]. Soria, E.; Calpe, J.; Chambers, J.; Martinez, M.; Camps, G.; Guerrero, J.D.M.; “A novel approach to introducing adaptive filters based on the LMS algorithm and its variants”, IEEE Transactions, vol. 47, pp. 127-133, Feb 2008.

[4]. Tandon, A.; Ahmad, M.O.; Swamy, M.N.S.; “An efficient, low-complexity, normalized LMS algorithm for echo cancellation”, IEEE workshop on Circuits and Systems, 2004. NEWCAS 2004, pp. 161-164, June 2004.

[5]. Eneman, K.; Moonen, M.; “Iterated partitioned block frequency-domain adaptive filtering for acoustic echo cancellation,” IEEE Transactions on Speech and Audio Processing, vol. 11, pp. 143-158, March 2003.

[6]. Krishna, E.H.; Raghuram, M.; Madhav, K.V; Reddy, K.A; “Acoustic echo cancellation using a computationally efficient transform domain LMS adaptive filter,” 2010 10th International Conference on Information sciences signal processing and their applications (ISSPA), pp. 409-412, May 2010.

[7]. Lee, K.A.; Gan,W.S; “Improving convergence of the NLMS algorithm using constrained subband updates,” Signal Processing Letters IEEE, vol. 11, pp. 736-739, Sept. 2004.

[8]. S.C. Douglas, “Adaptive Filters Employing Partial Updates,” IEEE Trans.Circuits SYS.II, vol. 44, pp. 209-216, Mar 1997.

[9]. D.L. Duttweiler, “Proportionate Normalized Least Mean Square Adaptation in Echo Cancellers,” IEEE Trans. Speech Audio Processing, vol. 8, pp. 508-518, Sept. 2000.

[10]. E. Soria, J. Calpe, J. Guerrero, M. Martínez, and J. Espí, “An easy demonstration of the optimum value of the adaptation constant in the LMS algorithm,” IEEE Trans. Educ., vol. 41, pp. 83, Feb. 1998.

[11]. D. Morgan and S. Kratzer, “On a class of computationally efficient rapidly converging, generalized NLMS algorithms,” IEEE Signal Processing Lett., vol. 3, pp. 245–247, Aug. 1996.

[12]. G. Egelmeers, P. Sommen, and J. de Boer, “Realization of an acoustic echo canceller on a single DSP,” in Proc. Eur. Signal Processing Conf. (EUSIPCO96), Trieste, Italy, pp. 33–36, Sept. 1996.

[13]. J. Shynk, “Frequency-domain and multirate adaptive filtering,” IEEE Signal Processing Mag., vol. 9, pp. 15– 37, Jan. 1992.

[14]. Ahmed I. Sulyman and Azzedine Zerguine, “Echo Cancellation Using a Variable Step-Size NLMS Algorithm”, Electrical and Computer Engineering Department Queen’s University.

[15]. D. L. Duttweiler, “A twelve-channel digital echo canceller,” IEEE Trans. Commun., vol. 26, no. 5, pp. 647–653, May 1978.

[16]. J. Benesty, H. Rey, L. Rey Vega, and S. Tressens, “A nonparametric VSS NLMS algorithm,” IEEE Signal Process. Lett., vol. 13, pp. 581–584, Oct. 2006.

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前言

數組和鏈表是兩種數據結構,數組非常簡單易用但是它有兩個非常大的缺點,一個是數組一旦創建無法擴展,另一個則是數組的查找和刪除的速度很慢.

鏈表改善了一些數組的缺點,但是同樣的鏈表自身也存在一些自己的缺點.

本篇博客將為大家介紹一下這數組和鏈表特點及各自的優缺點.

閱讀前的準備工作

,一種粗略的評價計算機算法效率的方法.後面的內容會用到表示效率的方法.

1. 數組

我們按數組中的數組是否排序對數組進行劃分,將數組分為無序數組和有序數組.無序數組中的數組是無序的,而有序數組中的數據則是升序或者降序排序的.

1.1 無序數組

因為無序數組中的數據是無序的,往數組中添加數據時不用進行比較和移動數據,所以往無序數組裡面添加數據很快.無論是添加第一個數據還是第一萬個數據所需的時間是相同的,效率為O(1).

至於查找和刪除速度就沒有那麼快了,以數組中有一萬個數據項為例,最少需要比較1次,最多則需要比較一萬次,平均下來需要比較5000次,即N/2次比較,N代表數據量,大O表示法中常數可以忽略,所以效率為O(N).

結論:

1. 插入很快,因為總是將數據插入到數組的空餘位置.
2. 查找和刪除很慢,假設數組的長度為N,那麼平均的查找/刪除的比較次數為N/2,並且還需要移動數據.

1.2 有序數組

無序數組中存放的數據是無序的,有序數組裡面存放的數據則是有序的(有可能是升序有可能是降序).

因為有序數組中的數據是按升序/降序排列的,所以插入的時候需要進行排序並且移動數據項,所有有序數組的插入速度比無序數組慢. 效率為O(N).

刪除速度和無序數組一樣慢 效率為O(N).

有序數組的查找速度要比無序數組快,這是因為使用了一個叫做二分查找的算法.

二分查找: 二分查找也稱折半查找（Binary Search），它是一種效率較高的查找方法。但是，折半查找要求線性表必須採用順序存儲結構，而且表中元素按關鍵字有序排列.

有一個關於二分查找的形象類比 -> 猜數遊戲

假設要在0-100之間猜一個數,那麼你第一個要猜的数字就是100的一半50的時候,你的朋友會告訴你這個数字比要猜的数字是大還是小,如果比数字大,你接下來要猜的数字就是50的一半25,你的朋友說比這個数字要大,那麼你下面要猜的数字就是25-50中間的那個數37,以此類推…

使用二分查找可極大的提高查找的效率,假設一個有序數組有十億個數據,那麼查找到所需的数字,最多只需比較30次.

有序數組使用二分查找的效率為O(logN).有序數組也可以通過二分查找來新增和刪除數據以提高效率,但是依然需要在新增/刪除后移動數據項,所以效率依然會有影響.

總結:

1. 有序數組的查找速度比無序數組高,效率為O(logN)
2. 有序數組的刪除和新增速度很慢,效率為O(N)

1.3 數組總結

數組雖然簡單易用,但是數組有兩個致命的缺點:

1. 數組存儲的數量有限,創建的過大浪費資源,創建的過小溢出
2. 數組的效率比其他數據結構低

• 無序數組插入效率為O(1)時間,但是查找花費O(N)時間
• 有序數組查找花費O(logN)時間,插入花費O(N)時間
• 刪除需要移動平均半數的數據項,所以刪除都是O(N)的時間

2. 鏈表

數組一經創建大小就固定住了,無法修改,鏈表在這方面做出了改善,只要內存夠用就可以無限制的擴大.

鏈表是繼數組之後應用最廣泛的數據結構.

2.1 鏈表的特點

鏈表為什麼叫鏈表呢? 因為它保存數據的方式就像一條鎖鏈

鏈表保存數據的方式很像上面的這一條鎖鏈,每一塊鎖鏈就是一個鏈節點,鏈節點保存着自己的數據同時通過自己的next()方法指向下一個鏈節點. 鏈表通過鏈節點不斷地調用next()方法就可以遍歷鏈表中的所有數據.

在鏈表中,每個數據項都被包含在”鏈節點”(link)中,一個鏈結點是某個類的對象,這個類可以叫做Link.因為一個鏈表中有許多類似的鏈結點,所以有必要用一個不同於鏈表的類來表達鏈結點.

每個Link對象中都包含一個對下一個鏈結點引用的字段(通常叫做next).

鏈表本身的對象中有一個字段指向對第一個鏈結點的引用.

數據與鏈表查找數據的區別: 在數組中查找數據就像在一個大倉庫裏面一樣,一號房間沒有,我們去二號房間,二號房間沒有我們去三號房間,以此類推.. 按照地址找完所有房間就可以了.

而在鏈表中查找數據就像單線彙報的地下工作者,你是孤狼你想要彙報點情報給你的頂級上司毒蜂,但是你必須先報告給你的接頭人豬剛鬣,豬剛鬣在報告給它的單線接頭人土行孫,最後由土行孫報告給毒蜂.只能一個找一個,這樣最終完成任務.

2.2 Java代碼

鏈節點類:

/**
 * @author liuboren
 * @Title: 鏈節點
 * @Description:
 * @date 2019/11/20 19:30
 */
public class Link {
    //  保存的數據
    public int data;

    // 指向的下一個鏈節點
    public Link nextLink;

    public Link(int data) {
        this.data = data;
    }

    public int getData() {
        return data;
    }

    public void setData(int data) {
        this.data = data;
    }

    public Link getNextLink() {
        return nextLink;
    }

    public void setNextLink(Link nextLink) {
        this.nextLink = nextLink;
    }
}

鏈表類

/**
 * @author liuboren
 * @Title: 鏈表類
 * @Description:
 * @date 2019/11/20 19:31
 */
public class LinkList {
    private Link first;

    public LinkList() {
        first = null;
    }

    // 新增鏈節點方法
    public void insertFirst(int data) {
        Link link = new Link(data);
        link.setNextLink(first);
        first = link;
    }
}

在新增節點的時候,新增的link的next方法指向原來的first節點,並將鏈表類的first指向新增的節點.

2.4 其他鏈表

剛剛介紹的鏈表是單向鏈表,只能從后往前遍歷,其他的鏈表還有雙端鏈表、雙向鏈表、有序鏈表.

再簡單介紹一下雙端鏈表吧.

雙端鏈表就是在單向鏈表的基礎上,新增一個成員變量指向鏈表的最後一個對象.

雙端鏈表代碼:

/**
 * @author liuboren
 * @Title: 鏈表類
 * @Description:
 * @date 2019/11/20 19:31
 */
public class LinkList {
    private Link first;
    private Link last;

    public LinkList() {
        first = null;
    }

    public boolean isEmpty() {
        return first == null;
    }

    // 新增鏈節點方法
    public void insertFirst(int data) {
        Link newLink = new Link(data);
        newLink.setNextLink(first);
        if (isEmpty()) {
            last = newLink;
        }
        first = newLink;

    }
}

雙向鏈表則是可以從first和last兩個方向進行遍歷,有序鏈表的數據都是按照關鍵字的順序排列的,本文不再展開了.

2.5 鏈表的效率

鏈表的效率:

• 在表頭插入和刪除速度都很快,花費O(1)的時間.
• 平均起來,查找&刪除&插入在制定鏈節點後面都需要搜索一半的鏈節點需要O(N)次比較,雖然數組也需要O(N)次比較,但是鏈表讓然要快一些,因為不需要移動數據(只需要改變他們的引用)

3. 總結

鏈表解決了數組大小不能擴展的問題,但是鏈表自身依然存在一些問題(在鏈表的鏈節點後面查找&刪除&插入的效率不高),那麼有沒有一種數據結構即擁有二者的優點又改善了二者的缺點呢,答案是肯定的,下篇博客將為您介紹這種優秀的數據結構,敬請期待.

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