先提個問題，完全二叉樹/滿二叉樹，區別？前者是指每一層都是緊湊靠左排列，最後一層可能未排滿，後者是一種特殊的完全二叉樹，
每層都是滿的，即節點總數和深度滿足N=(2^n) -1。堆Heap，一堆蘋果，為了賣相好，越好看的越往上放，就是大頂堆；為了蘋果堆
的穩定，質量越小越往上放，就是小頂堆；堆首先是完全二叉樹，但只確保父節點和子節點大小邏輯，不關心左右子節點的大小關係，
通常是一個可以被看做一棵樹的數組對象，是個很常見的結構，比如BST對象，都與堆有關係，今天就說下這個重要的數據結構和應用。
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準備：
Idea2019.03/Gradle6.0.1/Maven3.6.3/JDK11.0.4
難度： 新手–戰士–老兵–大師
目標：
1.堆的構建和調整算法
1 優先級隊列
為理解堆的原理，先看優先級隊列，它是一種數據結構，插入或者刪除元素的時候，元素會自動排序，(優先級不是狹義的數值大小，
但為了通俗理解，這裏以字母序為例)，通常使用數組存儲，我們可以按照下圖進行轉換，序號 0 不用：
優先級隊列的實現(Java版)：
public class PriorityQueue<Key extends Character> { /** 存儲元素的數組 */ private Key[] keys; private int N = 0; public PriorityQueue(int capacity){ // 下標0不用，多分配一個單位 keys = (Key[]) new Character[capacity + 1]; } public Key max(){ return keys[1]; } public void insert(Key e){ N ++; keys[N] = e; swim(N); } public Key delMax(){ Key max = keys[1]; swap(1,N); keys[N] = null; N --; // 讓第一個元素下沉到合適的位置 sink(1); return max; } /** 上浮第k個元素*/ private void swim(int k){ // 比父節點小，即進行交換，直到根 while (k > 1 && less(parent(k),k)){ swap(k,parent(k)); k = parent(k); } } /** 下沉第 k 個元素*/ private void sink(int k){ while(k < N){ int small = left(k); if (right(k) < N && less(right(k),left(k))){ small = right(k); } if (less(k,small)){ swap(k,small); k = small; } } } private void swap(int i,int j){ Key temp = keys[i]; keys[i] = keys[j]; keys[j] = temp; } /** 元素i和j大小比較*/ private boolean less(int i,int j){ // 'a' - 'b' = -1 ; return keys[i].compareTo(keys[j]) > 0; } /** 元素i的父節點*/ private int parent(int i){ return i/2; } /** 元素i的左子節點*/ private int left(int i){ return i * 2; } /** 元素i的右子節點*/ private int right(int i){ return i * 2 + 1; } }
以上代碼解析：
1 swim 上浮，對於元素k，是否需要上浮，僅需與其父節點比較，大於父節點則交換，迭代直到根節點；
2 sink 下沉，對於元素k，是否需要下沉，需先比較其左右子節點，找出左右子節點中較小者，較小者若比父節點大，則交換，迭代直到末尾元素；
3 insert 插入，先將元素放到數組末尾位置，再對其進行上浮操作，直到合適位置；
4 delMax 刪除最大值，大根堆，故第一個元素最大，先將首末元素交換，再刪除末尾元素，再對首元素下沉操作，直到合適位置；
總結：以上只是Java簡化版，java.util.PriorityQueue 是JDK原版，客官可自行研究。但設計還是非常有技巧的，值得思考一番，假設 insert 插入
到首位，會導致數組大量元素移動。delMax 若直接刪除首位最大值，則需要進一步判斷左右子節點大小，並進行先子節點上浮再首元素下沉操作。
有了這個堆結構，就可以進行堆排序了，將待排數全部加入此堆結構，然後依次取出，即成有序序列了！
2 堆排序
如要求不使用上述堆數據結構。思路(升序為例)：將數組構建為一個大頂堆，首元素即為數組最大值，首尾元素交換；排除末尾元素后調整大頂堆，
則新的首元素即為次最大值，交換首尾並再排除末尾元素；如此循環，最後的數組即為升序排列。
public class HeapSort02 { public static void main(String []args){ int []arr = {2,1,8,6,4,7,3,0,9,5}; sort(arr); System.out.println(Arrays.toString(arr)); } public static void sort(int []arr){ int len = arr.length; // 創建一個大頂堆 for(int i = (int) Math.ceil(len/2 - 1); i >= 0; i--){ //從第一個非恭弘=叶 恭弘子結點從下至上，從右至左調整結構 adjustHeap(arr,i,len); } // 交換首尾元素，並重新調整大頂堆 for(int j = len-1;j > 0;j--){ swap(arr,0,j); adjustHeap(arr,0,j); } } /** 迭代寫法*/ public static void adjustHeap(int []arr,int i,int length){ int temp = arr[i]; for (int k = 2*i + 1; k < length; k=k*2 + 1) { // 注意這裏的k + 1 < length // 如果右子節點大於左子節點，則比較對象為右子節點 if (k + 1 < length && arr[k] < arr[k+1]){ k++; } if (arr[k] > temp){ // 不進行值交換 arr[i] = arr[k]; i = k; } else{ break; } } arr[i] = temp; } /** 遞歸寫法*/ private static void adjustHeap2(int[] arr, int i, int len){ int left = 2 * i + 1; int right = 2 * i + 2; int maxIndex = i; // 注意這裏的 left < len if (left < len && arr[left] > arr[maxIndex]){ maxIndex = left; } if (right < len && arr[right] > arr[maxIndex]){ maxIndex = right; } if (maxIndex != i){ swap(arr,i,maxIndex); adjustHeap2(arr,maxIndex,len); } } /** 交換元素 */ public static void swap(int []arr,int a ,int b){ int temp=arr[a]; arr[a] = arr[b]; arr[b] = temp; } }
以上代碼解析：
1完全二叉樹結構中，如果根節點順序號為 0，總節點數為 N，則最末節點的父節點即為最後一個非恭弘=叶 恭弘子節點，順序號為 ceil(N/2 -1)，
2 adjustHeap2 為啥使用三個參數，不用中間的參數可以？使用三個參數，是為了進行遞歸調用，因為遞歸肯定是縮小計算規模，而這裏的形參arr和len是固定不變的；
3 adjustHeap是非遞歸寫法，不用中間的參數可以？調用一在“構建大頂堆”處，可寫為函數體內初始化 i，並形成雙重 for 循環；調用二在“重新調整大頂堆”處，
可見中間參數為 0，可直接去掉。故回答是可以！但需要調整寫法，且影響該方法復用，這裏直接寫為三個形參的函數更為優雅而已。
4非遞歸寫法理解：類似插入排序思想(依次移動並找到合適的位置再插入)，先將 arr[i] 取出，然後此節點和左右子樹進行比較，如子樹更大則子節點上升一層，使
用for循環迭代到最終位置，並進行賦值；
以 i=0 為例：
5遞歸方式理解：定位目標元素的左右子樹，若子樹值更大，則進行值交換，且因為子樹發生了變化，故需要對子樹進行遞歸處理；
3 前K個最大的數
在N個數中找出前K個最大的數： 思路：從N個數中取出前K個數，形成一個數組[K]，將該數組調整為一個小頂堆，則可知堆頂為K個數中最小值，
然後依次將剩餘 N-K 個數與堆頂比較，若大於，則替換掉並調整堆，直到所有元素加入完畢，堆中元素即為目標集合。
public class HeapSort { public static void main(String[] args) { int[] arr = new int[100]; for (int i = 0; i < 100; i++) { arr[i] = i + 1; } // 前10個最大的數 int k = 10; // 構造小頂堆 for (int i = (int) Math.ceil(k/2 - 1); i >= 0; i--) { adjustHeap(arr,i,k); } // 依次比較剩餘元素 for (int i = 10; i < arr.length; i++) { if (arr[i] > arr[0]){ swap(arr,0,i); adjustHeap(arr,0,k); } } // 輸出結果 for (int i = 0; i < 10; i++) { System.out.print(arr[i]+"-"); } } /** 非迭代寫法 ,對arr[i]進行調整 */ private static void adjustHeap(int[] arr,int i,int length){ int temp = arr[i]; for (int k = i * 2 + 1; k < length; k = k * 2 + 1) { // 因第一次循環中可能越界，故需要 k+1 < length if (k + 1 < length && arr[k] > arr[k + 1]){ k++; } if (arr[k] < temp){ arr[i] = arr[k]; i = k; } else { break; } } arr[i] = temp; } /** 遞歸寫法 */ private static void adjustHeap2(int[] arr,int i,int length){ int left = i * 2 + 1; int right = i * 2 + 2; int samller = i; if (left < length && arr[left] > arr[samller]){ samller = right; } if (right < length && arr[right] > arr[samller]){ samller = right; } if (samller != i){ swap(arr,i,samller); adjustHeap2(arr,samller,length); } } /** 交換元素 */ public static void swap(int []arr,int a ,int b){ int temp=arr[a]; arr[a] = arr[b]; arr[b] = temp; } }
以上代碼解析：按照”初始化—構建小頂堆—比較調整—輸出結果”執行。注意for循環中，因第一次循環中未使用for語句條件判斷，可能越界，故需要 k+1 < length。
輸出結果如下：
請看官思考，如果需求變為找出N個數中找出前K個最小的數,該如何實現? 建議動腦且動手的寫一遍！因為魔鬼在細節！
全文完！
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